Таблица умножения и вера в авторитет
Я вот об этом мимоходом упомянул - и крепко задумался. Предупреждаю, я еще сам до конца эту мысль не додумал, думать буду на ходу, так что, пожалуйста, уточняйте и поправляйте. Возможно, я вообще неправ.
Смотрите: сложение (и вычитание) - это простая и наглядная операция. Ее (в пределах первых десятков) легко воспроизвести на пальцах, на счетных палочках, на карандашах, на чем угодно. Если ты сомневаешься, что три плюс три будет шесть - загни три пальца и еще три, и посчитай сам.
Умножение - это ускоренный вариант сложения. В сущности, оно не менее просто и наглядно. Если тебе надо сложить несколько одинаковых величин - просто умножь. Три плюс три плюс три - трижды три. Вместо двух операций сложения - одно умножение. Но на пальцах его уже не показывают. Просто объясняют детям сам принцип (со сложением школьники к тому времени уже хорошо знакомы), а дальше в дело вступает таблица умножения. На самом деле, "таблица умножения" тоже бывает разная. Есть такая штука - таблица Пифагора. Она не менее проста и наглядна, чем "на пальцах" (иллюстрации и некоторые идеи взяты отсюда: https://lifehacker.ru/multiplication-table/).
На пересечении столбцов и строк - произведение соответствующих чисел. 3х4=12. И я в какой-то интернет-дискуссии читал, что у кого-то были школьные тетрадки, где на задней обложке печаталась именно эта таблица. Но у нее есть минус. Она очень наглядна и удобна как справочник, но она совершенно не предназначена для заучивания наизусть. Поэтому на всех тетрадках, которые видел в своей жизни я, печаталась другая таблица, и именно это в мое время понимали под "таблицей умножения".
Это надо было читать вслух. "Дважды два - четыре, дважды три - шесть", и так далее. И это надо было заучивать наизусть. Прям вот совсем наизусть, чтобы от зубов отлетало, и чтобы ты это мог воспроизвести с любого места. Впрочем, почему "было"? Этого и сейчас требуют. Считается, что человек, не знающий таблицы умножения (именно наизусть), не знает и математики.
У меня, если честно, с заучиванием наизусть чего бы то ни было всегда было плохо. Меня выручила песенка. Знаете, "Дважды два четыре, дважды два четыре, это всем известно в целом мире!" Я запомнил некоторые ключевые строки, как опорные точки, а от них уже вычислял. "У кого, друзья, ни спросим, шестью восемь - сорок восемь!" А шестью семь, значит, от сорока восьми отнять шесть, будет сорок два, можно быстренько посчитать в уме и не позориться. (А шестью девять можно от шестидесяти отнять шесть, будет пятьдесят четыре). Но в целом, по-хорошему, нормальные люди это все именно наизусть помнят. Восемью девять - семьдесят два, и так далее. И я не думаю, что кто-то это особо проверяет и пересчитывает. Спросите любого нормального обывателя: "Сколько будет девятью девять?" - "Восемьдесят один". - "Откуда ты знаешь?" - "Ты что, тупой? Это же таблица умножения!" То есть это так просто потому, что это написано в священной таблице. Нет, на самом деле, взрослый человек уже стопиццот раз проверил таблицу умножения в деле и убедился, что она соответствует действительности. Расчеты с ее использованием всегда сходятся. Но для школьника, для второклассника, таблица умножения (особенно во втором, непифагоровском варианте) - это чисто вопрос веры. В Пифагоровой таблице все наглядно, а вот когда зубришь вслух и наизусть, приходится верить на слово. Я не думаю, что многие второклассники были столь недоверчивы и критичны, что брали, например, коробок спичек, отсчитывали девять раз по девять штук и пересчитывали, точно ли это именно 81. Обычно у второклассника хватает других, более интересных занятий.
То есть вы понимаете, о чем я говорю? В самой основе математики, той науки, на которой держатся все доказательные науки, те науки, которые sciences, а не letters, лежит не знание, а вера, зачастую вера без понимания. Почему шестью восемь сорок восемь? Потому что таблица умножения, вот почему. Да, это можно проверить, запросто можно проверить и пересчитать, но никто же не проверяет. Ну, или почти никто. Причем тот, кто вынужден думать и проверять, потому что плохо помнит наизусть - он хуже того, который помнит назубок и отвечает не думая.
И на самом деле этот принцип работает в отношении всех наук. Да, формально в школе нам все объясняют и приводят именно доказательства. Нам описывают классические опыты, которые, теоретически, мы можем сами воспроизвести (на практике лабораторных с каждым поколением становится все меньше и меньше). Но на самом деле современная наука слишком обширна. Жизни не хватит, чтобы лично воспроизвести и перепроверить все опыты, на которых основаны хотя бы ключевые научные теории. Поэтому наглядные опыты на практике подменяются рассуждениями (мы верим учебнику и учителю на слово, что такой-то опыт дает такие-то результаты). Условно говоря, что 3+3+3+3 равно 4х3 равно 12. А зачастую и рассуждения опускаются, подменяясь готовыми выводами. Или мы их не понимаем. "Ученые доказали, что 4х3 равно 12". Не надо думать, почему это так, не надо считать палочки и рисовать квадратики, просто запомни.
То есть мы-то привыкли считать, что глупые люди средневековья верили авторитетам, а умный человек современности авторитетам не верит, а верит опыту и экспериментальным доказательствам. На уровне именно науки, научного исследования это так и есть (при условии, что экспериментатор добросовестен, потому что ученые экспериментальные выводы коллег тоже проверяют крайне редко). Но на моем уровне, на уровне среднего обывателя, это все равно вопрос веры в авторитеты. Мне, Коту Камышовому, просто не хватает ума по-настоящему понять эти ваши доказательства, даже если вы мне их правда приводите. Я машу рукой и полагаюсь на то, что вы эксперт и человек умный и добросовестный. То есть по сути вся разница между мной и средневековым схоластом в том, что для него авторитетами были Аристотель и Фома Аквинский, а для меня, допустим, Александр Марков или Елена Клещенко. Почему это так? Я прочел об этом у Аквината. Я прочел об этом у Елены Клещенко. Я буду перепроверять лично то, о чем я прочел? Да вы с ума сошли. Максимум - я выслушаю другую точку зрения. То есть другого авторитета.
Смотрите: сложение (и вычитание) - это простая и наглядная операция. Ее (в пределах первых десятков) легко воспроизвести на пальцах, на счетных палочках, на карандашах, на чем угодно. Если ты сомневаешься, что три плюс три будет шесть - загни три пальца и еще три, и посчитай сам.
Умножение - это ускоренный вариант сложения. В сущности, оно не менее просто и наглядно. Если тебе надо сложить несколько одинаковых величин - просто умножь. Три плюс три плюс три - трижды три. Вместо двух операций сложения - одно умножение. Но на пальцах его уже не показывают. Просто объясняют детям сам принцип (со сложением школьники к тому времени уже хорошо знакомы), а дальше в дело вступает таблица умножения. На самом деле, "таблица умножения" тоже бывает разная. Есть такая штука - таблица Пифагора. Она не менее проста и наглядна, чем "на пальцах" (иллюстрации и некоторые идеи взяты отсюда: https://lifehacker.ru/multiplication-table/).
На пересечении столбцов и строк - произведение соответствующих чисел. 3х4=12. И я в какой-то интернет-дискуссии читал, что у кого-то были школьные тетрадки, где на задней обложке печаталась именно эта таблица. Но у нее есть минус. Она очень наглядна и удобна как справочник, но она совершенно не предназначена для заучивания наизусть. Поэтому на всех тетрадках, которые видел в своей жизни я, печаталась другая таблица, и именно это в мое время понимали под "таблицей умножения".
Это надо было читать вслух. "Дважды два - четыре, дважды три - шесть", и так далее. И это надо было заучивать наизусть. Прям вот совсем наизусть, чтобы от зубов отлетало, и чтобы ты это мог воспроизвести с любого места. Впрочем, почему "было"? Этого и сейчас требуют. Считается, что человек, не знающий таблицы умножения (именно наизусть), не знает и математики.
У меня, если честно, с заучиванием наизусть чего бы то ни было всегда было плохо. Меня выручила песенка. Знаете, "Дважды два четыре, дважды два четыре, это всем известно в целом мире!" Я запомнил некоторые ключевые строки, как опорные точки, а от них уже вычислял. "У кого, друзья, ни спросим, шестью восемь - сорок восемь!" А шестью семь, значит, от сорока восьми отнять шесть, будет сорок два, можно быстренько посчитать в уме и не позориться. (А шестью девять можно от шестидесяти отнять шесть, будет пятьдесят четыре). Но в целом, по-хорошему, нормальные люди это все именно наизусть помнят. Восемью девять - семьдесят два, и так далее. И я не думаю, что кто-то это особо проверяет и пересчитывает. Спросите любого нормального обывателя: "Сколько будет девятью девять?" - "Восемьдесят один". - "Откуда ты знаешь?" - "Ты что, тупой? Это же таблица умножения!" То есть это так просто потому, что это написано в священной таблице. Нет, на самом деле, взрослый человек уже стопиццот раз проверил таблицу умножения в деле и убедился, что она соответствует действительности. Расчеты с ее использованием всегда сходятся. Но для школьника, для второклассника, таблица умножения (особенно во втором, непифагоровском варианте) - это чисто вопрос веры. В Пифагоровой таблице все наглядно, а вот когда зубришь вслух и наизусть, приходится верить на слово. Я не думаю, что многие второклассники были столь недоверчивы и критичны, что брали, например, коробок спичек, отсчитывали девять раз по девять штук и пересчитывали, точно ли это именно 81. Обычно у второклассника хватает других, более интересных занятий.
То есть вы понимаете, о чем я говорю? В самой основе математики, той науки, на которой держатся все доказательные науки, те науки, которые sciences, а не letters, лежит не знание, а вера, зачастую вера без понимания. Почему шестью восемь сорок восемь? Потому что таблица умножения, вот почему. Да, это можно проверить, запросто можно проверить и пересчитать, но никто же не проверяет. Ну, или почти никто. Причем тот, кто вынужден думать и проверять, потому что плохо помнит наизусть - он хуже того, который помнит назубок и отвечает не думая.
И на самом деле этот принцип работает в отношении всех наук. Да, формально в школе нам все объясняют и приводят именно доказательства. Нам описывают классические опыты, которые, теоретически, мы можем сами воспроизвести (на практике лабораторных с каждым поколением становится все меньше и меньше). Но на самом деле современная наука слишком обширна. Жизни не хватит, чтобы лично воспроизвести и перепроверить все опыты, на которых основаны хотя бы ключевые научные теории. Поэтому наглядные опыты на практике подменяются рассуждениями (мы верим учебнику и учителю на слово, что такой-то опыт дает такие-то результаты). Условно говоря, что 3+3+3+3 равно 4х3 равно 12. А зачастую и рассуждения опускаются, подменяясь готовыми выводами. Или мы их не понимаем. "Ученые доказали, что 4х3 равно 12". Не надо думать, почему это так, не надо считать палочки и рисовать квадратики, просто запомни.
То есть мы-то привыкли считать, что глупые люди средневековья верили авторитетам, а умный человек современности авторитетам не верит, а верит опыту и экспериментальным доказательствам. На уровне именно науки, научного исследования это так и есть (при условии, что экспериментатор добросовестен, потому что ученые экспериментальные выводы коллег тоже проверяют крайне редко). Но на моем уровне, на уровне среднего обывателя, это все равно вопрос веры в авторитеты. Мне, Коту Камышовому, просто не хватает ума по-настоящему понять эти ваши доказательства, даже если вы мне их правда приводите. Я машу рукой и полагаюсь на то, что вы эксперт и человек умный и добросовестный. То есть по сути вся разница между мной и средневековым схоластом в том, что для него авторитетами были Аристотель и Фома Аквинский, а для меня, допустим, Александр Марков или Елена Клещенко. Почему это так? Я прочел об этом у Аквината. Я прочел об этом у Елены Клещенко. Я буду перепроверять лично то, о чем я прочел? Да вы с ума сошли. Максимум - я выслушаю другую точку зрения. То есть другого авторитета.